Índice General Problemas

Ángulos
Ángulos. Construcciones más usuales de ángulos, operaciones de sumas y restas.
Bisectrices
Bisectrices
Circunferencias. Cuerdas, secantes, lugares geométricos.
Circunferencia y sus elementos
1.-Con un radio dado trazar una circunferencia que corte los lados de un ángulo dado, de manera que las bases del trapecio formado, estén en una relación dada m/n.
2.-Dada una circunferencia C y una recta r, trazar otra circunferencia que sea tangente a ambas y que la cuerda que une los puntos de contacto pase por un punto dado P.
3.-Desde un punto, dado como centro de una circunferencia, trazar la misma de modo que corte a los lados de un ángulo de manera que la cuerda obtenida sea paralela a una recta (segmento)AB.
4.-Trazar una circunferencia que corte diametralmente a dos dadas y que pase por un punto dado.
5.-Se dan dos circunferencias y una recta. Se pide: trazar otra circunferencia que tenga con una de las dadas por eje radical la recta dada y sea tangente a la otra circunferencia.
6.-Dados tres puntos A,B,C, y una recta que pasa por A. Trazar una circunferencia que pasando por A y B corte a la recta en un punto P tal que la recta CP sea tangente a la circunferencia.
7.-Construir una circunferencia tangente a otras tres cuyos centros C1, C2 y C3 estén en línea recta.
8.-Dado un ángulo y un punto en cada uno de los lados trazar las circunferencias de igual radio, tangentes entre sí y tangentes en los puntos dados en los lados del ángulo.
9.-Hallar el Lugar Geométrico de los puntos del plano desde los que se contemplan dos circunferencias bajo un ángulo constante.
10.-Hallar el lugar geométrico de los puntos del plano desde los que se contempla una circunferencia bajo un ángulo constante.
11.-En una circunferencia de centro O se traza un diámetro fijo AOB y una cuerda que se prolonga hasta D de modo que CD=BC. Hallar el lugar geométrico del punto G de intersección de OD y AC.
12.-Se considera un círculo y un diámetro AB. Sobre un radio variable OC se lleva OP = CD, siendo CD la distancia de C al diámetro AB. Hallar el lugar geométrico de P.
13.-Se da un círculo de diámetro AB, sobre una cuerda variable AC se lleva AP igual CB. Hallar el lugar geométrico de P cuando varía la cuerda.
14.-Hallar el lugar geométrico del baricentro de los triángulos de base BC fija, inscritos en una circunferencia de centro O dada.
15.-Dada una circunferencia C y otra C1 interior a la misma, hallar el lugar geométrico de los centros de las circunferencias tangentes a la C y C1.
16.-En dos circunferencias (círculos) dadas, se trazan radios de ángulos conocidos; se trazan secantes por los puntos de tangencia (puntos interceptados por los radios). Hallar el lugar geométrico de los puntos medios de dichas secantes.
17-Sea un ángulo alfa y dos puntos en sus lados A y B (uno en cada lado). Se trazan circunferencias tangentes en A y B y tangentes entre sí en el punto P. Hallar el lugar geométrico de P. Dado un ángulo alfa y dos puntos en sus lados A y B (cada uno en un lado), dibujar dos circunferencia tangentes en los puntos dados A y B y tangentes entre sí.
18.-Circunferencia (círculo) de Apolonio de Perga( 262-190 a.C.). Apolonio estableció que: el lugar geométrico de los puntos cuya distancia desde un punto es un múltiplo de su distancia a otro fijo es una circunferencia. En consecuencia la circunferencia de Apolonio es el lugar geométrico de los puntos cuya razón de distancias a otros dos fijos es constante: m/n = K.
19.-Dadas dos circunferencias, trazar otra que sea tangente a las anteriores y tal que la cuerda que une los puntos de contacto tenga una longitud dada l.
20.-Describir tres circunferencias tangentes, dos a dos, que tengan por centros los vértices de un triángulo.
21.-Dado un triángulo rectángulo ABC recto en A. Se toma A como centro y se describe una circunferencia tangente a la hipotenusa. Trazar otra que corte a ésta ortogonalmente y sea tangente en C.
22.-Se dan dos circunferencias de centros A y B. Trazar una circunferencia que pase por A y B, que corte a las dos primeras en X e Y, respectivamente, (a lados distinto de AB), de manera que la suma de los ángulos ABY y BAX sea igual a un ángulo dado.
23.-Trazar una círculo que pase por dos puntos y diste de una recta dada una distancia igual a su radio.
24.-Dados dos puntos, describir una circunferencia tal que sea vista, desde cada uno de ellos, bajo un mismo ángulo alfa y, que desde el centro de la misma, se vean los citados puntos bajo un ángulo también conocido beta.
25.-Se da una circunferencia, una recta y un punto de ésta. Describir una circunferencia que pase por el punto, tenga su centro en la recta y corte ortogonalmente a la circunferencia dada.
26.-Dados dos puntos, describir una circunferencia de radio dado r, que pase por uno de ellos, y de manera que la tangente trazada desde el otro, sea de magnitud dada m.
27.-Centrando en un punto dado, dibujar una circunferencia que corte a otras dos circunferencias concéntricas dadas, de manera que la recta determinada por los puntos de intersección, pase por el centro de las circunferencias concéntricas.
Trazar una circunferencia que pase por un punto P, sea tangente a una recta dada r y corte a otra circunferencia ortogonalmente. Además PO se corta fuera de los límites del dibujo.
28.-Dadas dos circunferencias tangentes entre sí, trazar otra que sea ortogonal a las dos y que determine arcos comprendidos entre las otras dos alfa y beta tal que alfa igual dos beta.
29.-Dado un triángulo describir dos circunferencias de igual radio, que sean tangentes entre sí, y tangente una de ellas a los lados c y b, y la otra a los b y c.
30.-Dado un triángulo describir tres circunferencias de igual radio, tangente una de ellas a los lados c y b, otra a los a y c, y la otra a las anteriores y al lado c.
31.-Haciendo centro en un punto dado, describir una circunferencia que intercepte en dos rectas dadas, cuerdas cuya suma sea igual a una magnitud conocida.
32.-Dadas dos semirrectas r y s, trazar una circunferencia de radio dado de modo que la cuerda interceptada sobre las semirrectas sean iguales a una magnitud dada.
33.-Trazar una circunferencia que pase el punto dado A y que pase a la misma distancia de otros tres dados B, C y D.
34.-Determinar una circunferencia de centro C2, que tenga la misma potencia que la dada C1 respecto de un punto dado P.
35.-Determinar una circunferencia de radio conocido r, que tenga el mismo eje radical que la dada C.
36.-Determinar las circunferencias que pasen por los puntos A y B dados y que corten a la circunferencia de centro C dada, según una cuerda de magnitud m.
37.-Una circunferencia de centro O pasa por los vértices A y B de un triángulo equilátero cuyo lado mide 30 milímetros. Dibuja en dicha circunferencia un cuerda que quede dividida en tres partes iguales por los radios OA y OB.
38.- Dadas dos circunferencias C1 y C2 que se cortan en P, trazar por P una recta que determine dos cuerdas iguales en las circunferencias dadas.
39.- Dada una circunferencia de centro O y un punto P interior a la misma , trazar las cuerdas que, pasando por el punto, queden divididas por este en dos partes, una el doble que la otra.
Curvas planas: Elipse, Parábola, Hipérbola.
Propiedades, trazado de tangentes desde un punto propio y desde un punto exterior. Circunfernecia afin a la elipse. Trazado de las asíntotas a una hipérbola.
Elipse: Problemas
1.--Representa el punto de tangencia T de la recta t con la elipse conociendo: dos puntos Ay B pertenecientes a la circunferencia principal, y que la recta r contiene 2a.
2.- Determinar la posición de la tangente t de la elipse definida por un foco F, eje e y el punto de tangencia t, sabiendo que dicho punto dista la mitad de F que de F'.
3.- Dado el eje mayor AA' de una elipse y los focos FF' de la misma, determinar los puntos de dicha elipse que disten 3 cm de foco F'. Dibujar las tangentes a la elipse desde ese punto.
4.- Representa el eje menor de la elipse definida por un punto P perteneciente a la misma, el centro O y el foco F.
5.-A partir de la elipse trazada, determine las longitudes de los ejes de la elipse homotética respecto a su centro y que pasa por el punto P, y dibuje dicha elipse.
6.-Dada una elipse por sus focos F-F' y su eje mayor AB, determinar los puntos de intersección de la misma con la recta r, perpendicular a dicho eje.
7.-Determinar los elementos de una elipse conociendo un foco F, una tangente t1 y las magnitudes del eje mayor y eje menor.
8.-Hallar los ejes mayor y menor de una elipse que es tangente a las rectas t1, t2 y t3, de la que se conoce uno de sus focos F. Hallar también los puntos de tangencia con las tres rectas
9.-Construir una elipse conociendo su eje menor 2b y un punto P perteneciente a la misma.
10.-Construir una elipse conociendo la posición del extremo A de su eje mayor, el foco opuesto F' y conociendo la magnitud de su eje menor.
11.-Definir el eje mayor 2a de una elipse dada una tangente t, eje menor 2b, foco F y la recta r que contiene su eje mayor 2a.
12.-De una elipse se conocen el foco F, la recta r que contiene el eje mayor, la magnitud de la circunferencia focal y una tangente t. Representar los ejes y trazar las tangentes desde el punto dado P.
13.-Dibujar una elipse conocidos dos puntos de ella, P1 y P2, un foco, F1, y la longitud del eje mayor, 2a.
14.-Dado el eje mayor de una elipse AB y un punto P de ella, se pide expresar gráficamente la obtención de la magnitud del otro eje.
15.-Construir una elipse conociendo un foco F, el vértice del eje menor B y un punto P perteneciente a la misma.
16.-Trazar una elipse conociendo un foco F, el simétrico del otro foco F' respecto de una tangente y P, pie de la perpendicular a la misma tangente desde F'.
Parábolas: Problemas
1.- Hallar el punto de tangencia de la recta t con la parábola de vértice V y de eje e.
2.-Los puntos A y B pertenecen a una misma parábola de foco F. Halla el vértice V.
3.- Dada la directriz d, una tangente t1 y otra t2, pertenecientes a una misma parábola, hallar los puntos de tangencias de las dos rectas.
4.-Un rayo (impulso lumínico, acústico ...etc.) incide en una parábola de foco F y de vértice A. Obtener con exactitud (sin dibujar la parábola) el punto de incidencia del rayo reflejado.
5.-Determminar el eje, el vértice y directriz de una parábola si conocemos el foco F y dos tangentes a la misma t1 y t2. Dibuja la parábola por puntos.
6.- Construir la parábola que tiene el foco distante de la directriz 45 mm. (Obtener al menos 9 puntos de la misma y no borrar las construcciones auxiliares empleadas).
7.-De una parábola se conocen el foco F, una tangente t y su punto de tangencia T. Hallar el eje y el vértice. Trazar la recta tangente a la cónica paralela a la recta dada d y determinar su punto de tangencia T. Obtener gráficamente los puntos de tangencia, sin dibujar la curva.
8.-Determinar los puntos de intersección de la recta h con la parábola de foco F que es tangente a la recta t en el punto A
9.-Trazar desde el punto Q las rectas tangentes a la parábola de foco F y de directriz d. Obtener los puntos de tangencia. Justificar razonadamente la construcción empleada
10.-Construir una parábola conociendo el foco F su eje y una tangente t.
11.-Dadas cuatro rectas t1,t2,t3 y t4, tangentes a una parábola, hallar los puntos de tangencia con dicha parábola (Teorema de Lambert).
12.-Trazar las tangentes desde P a la parábola definida por su directriz d y el foco F.
13.-Dibujar la circunferencia principal de una parábola conociendo su foco F, un punto P perteneciente a la parábola y un punto D de su directriz.
14.-De una parábola se conocen su eje e, un punto A perteneciente a la misma y su vértice V. Representar foco, directriz y tangente en A.
15.-De una parábola se conocen la directriz d, una tangente tg y un punto P de la misma. Determinar el foco y el eje.
16.-De una parábola se conocen el vértice V, una tangente tg y el eje e. Determinar el foco y la directriz.
Hipérbola: Problemas
1.-Trazar las tangentes desde un punto P a la hipérbola de focos F y F' que pasa por un punto Q. Obtener gráficamente los puntos de tangencia, sin dibujar la curva.
2.-Dibujar la hipérbola conocidos un foco F, dos tangentes T1 y T2 y la magnitud del semieje mayor o real a.
3.-Representar el eje 2a de una hipérbola conociendo un foco F, la distancia focal 2c, una tangente t y su punto de tangencia T.
4.-Hallar la posición del eje real 2a, de los focos y vértices de una hipérbola, conociendo una asíntota t, un foco F y la magnitud del eje real 2a.
5.-Dibujar una hipérbola conociendo una tangente t, una asíntota a y la posición de un foco F.
Equivalencias.
1.-Obtener el lado b del rectángulo cuyo lado a se da, que es, equivalente al triángulo PAB.
2.-Se quiere repartir entre partes iguales ente dos herederos una finca de forma triangular ABC, de modo que el lado A'C' sea paralelo al AC.
3.-Dibujar un triángulo equivalente a un polígono.
4.-Dibujar un cuadrado equivalente a un triángulo.
5.-Dibujar un cuadrado equivalente a otros dos cuadrados.
6.-Dibujar un rectángulo equivalente a otro conociendo un lado del mismo.
7.-Círculo equivalente a la suna de otros dos y a corona circular.
8.- Triángulo equilátero equivalente a un cuadrado.
9.-Hexágono equivalente a un cuadrado.
10.-Dado un cuadrado de lado l4 dibujar un pentágono equivalente al cuadrado.
11.-Dibujar un hexágono equivalente al pentágono dado.
12.-Dibujar el rectángulo equivalente al triángulo equilátero de modo que sus lados estén en relación de n/m = 2/3.
13.-Cuadratura del círculo. Imposibilidad de equivalencia.
Homología. Afinidad.
1.-En una homología que está definida por el vértice, la recta límite RL y un par de puntos homólogos A y A'. Se pide: Hallar el punto homólogo de B el eje de homología y la recta límite RL'.
2.-Dado un triángulo equilátero ABC. En una homología se toma como eje de homología la recta que pasando por el punto medio de BC es perpendicular al lado AB, la recta límite RL pasa por el punto medio del lado AC y el centro de homología coincide con el centro del triángulo dado. Hallar la figura homóloga de dicho triángulo ABC.
3.-Definida una homología por el centro O, el eje E y el par de puntos homólogos A y A', se pide: 1. Determinar la figura homóloga del triángulo ABC. 2. Hallar el circuncentro M del triángulo ABC. 3. Hallar el punto homólogo del circuncentro .
4.-Dados el cuadrado ABCD, el punto F' homólogo del centro del cuadrado F, el eje de homología O, se pide: 1. Inscribir un octógono regular en el cuadrado. 2. Hallar la figura homóloga del octógono.
5.-Hallar el homólogo del punto A en una homología definida por eje, centro V, recta límite de los puntos homólogos RL'.
6.- Representar la figura afín de una circunferencia de centro O conociendo el eje y su homólogo O'.
7.-Definida una homología de centro O, los pares de puntos homólogos C-C', M-M' y N-N' donde M y N son puntos dobles, se pide: 1. Determinar el eje de la homología. 2. Representar la figura homóloga del triángulo ABC.
8.-Hallar la figura homóloga del triángulo A,B,C, conociendo eje, centro de homología y una pareja de puntos homólogos A y A'.
9.-Determine la figura afín al polígono a b c d, conocidos el punto afín a' y el eje de afinidad. Indique la dirección de afinidad D.
10.-Complétese la representación del exágono ABCDEF, del que se conocen los puntos A, B y C, y se sabe que es transformado por afinidad de un exágono regular.
11.-Dado el eje de homología y el cuadrilátero A,B,C y D, representar el cuadrado homólogo.
12.-Dados el eje de homología, la recta límte LM y un triángulo ABC, representar el triángulo equilátero homólogo.
13.-Transformar un romboide dado ABCD en un cuadrado afín, sabiendo que el eje de afinidad es paralelo a los dos lados mayores del romboide.
14.-Transformar un romboide dado ABCD en un cuadrado afín, sabiendo que dos vértices del cuadrado solución están sobre la recta dada r.
15.-Determinar los puntos homólogos de los dados A, B y C en una homología definida por el vértice V, eje e, y un par de puntos homólogos DD'.
16.-Determinar la figura homóloga del cuadrilátero ABCD, en una homología definida por el vértice V, eje e, siendo C' homólogo de C.
17.-Obtener una paraja de diámetros conjugados de la elipse en la que se transforma la circunferencia mediante una relación de afinidad según el punto O, centro de la circunferencia, y el punto O', centro de la cónica, siendo e el eje de afinidad. A parir de dichos diámetros conjugados, obtener los ejes de la elipse y trazar al menos la mitad de ella.
Cuadrilátero. Cuadrlátero inscriptible. Paralelogramo. Hexágono. Polígono.
Elementos, relacione métricas, construcciones de formas poligonales.
1.-Dibuja un cuadrilátero ABCD conociendo: AB=95; CD=49; AD=72; BC=47, y que el ángulo formado por los lados opuestos AB y CD = 30º.
2.-Dibujar un cuadrilátero inscriptible conociendo: AB=60; BC=90; ^B= 75º; y que las diagonales forman un ángulo de 75º.
3.- Si se construyen rectángulos iguales con cada lado del triángulo ABC, como se observa en el croquis, al unir los otros vértices de cada rectángulo se obtienen hexágonos. Calcular gráficamente el lado menor de los recángulos para que el hexágono sea regular.
4.-Construir un paralelogramo en el que dos de sus lados formen un ángulo de 60º y sumen 75 mm, siendo la diagonal menor de 40 mm.
5.-Construir un cuadrilátero ABCD tal que AB= 75 mm, ^DAB= 75º, ^BCD= 105º, ^DCA= 15º y AD=CD.
6.-Construir, dibujar un cuadrilátero ABCD conociendo: la magnitud de las diagonales y el ángulo que forman; dos ángulos opuestos.
7.- Construir, dibujar un cuadrilátero circunscriptible conociendo: tres lados AD, AB, BC y el ángulo A.
8.-Construir dibujar un cuadrilátero inscriptible conociendo: las dos diagonales y su ángulo; ángulo que forma una diagonal con un lado.
9.-Construir, dibujar un paralelogramo conociendo: dos vértices A y B; circunferencia que pertenecen los otros dos vértices.
10.-Construir dibujar un cuadrilátero inscriptible conociendo: ángulo A; lados AB, AC y BD.
11.-Construir un cuadrilátero inscrito ABCD conociendo: radio de la circunferencia; diagonales BD y AC; diferencia entre los lados AB y AC.
12.-Construye la figura ABCDE con los siguientes datos: a) En el triángulo BCD, el lado CD = 70mm, la altura sobre el lado BD vale h (BD) = 55mm y la altura soblre el lado CD vale h (CD)= 60mm. b). En el triángulo ABD, la mediana sobre el lado AD mide m (AD) = 65mm. c) En el triángulo ADE, el ángulo E=90º, la altura sobre el lado AD vale h (AD) = 30mm y el lado DE es mayor que el lado AE.
13.-Construir, dibujar un cuadrilátero inscrito ABCD conociendo: radio R; diagonal BD; diagonal AC; suma lado AB más lado AD.
14.-Construir, dibujar un cuadrilátero inscriptible conociendo: lado AB; lado BC; diagonal AC y la diferencia de los lados CD menos DA.
15.-Dado un cuadrilátero MNPQ inscribir un paralelogramo que tenga por centro un punto dado.
16.-Construir un cuadrilátero conociendo los lados opuestos y sus cuatro ángulos.
17.-Construir, dibujar, un cuadrilátero conociendo los cuatro lados AB, BC, CD y DA y la recta MN que une los puntos medios de las diagonales.
18.-Construir un cuadrilátero inscriptible y circunscriptible conociendo: una diagonal, el ángulo que forma con la otra, radio de la circunferencia circunscrita.
19.-Construir, dibujar un cuadrilátero conociendo: a, c, AC, ángulo, ABD y BDC.
20.-Construir un paralelogramo conociendo: dos lados contíguos y el ángulo de las diagonales.
21.-Construir un cuadrilátero inscriptible en una circunferencia de radio dado, conociendo una de sus diagonales y las distancias de los extremos de ésta a la otra diagonal.
22.-Construir un cuadrilátero ABCD conociendo los lados AD y DC, el ángulo A, la diagonal AC, y se verifica además que AB+DC = AD+BC.
23.-Construir un cuadrilátero conociendo las diagonales AC y BD, los lados b y d, y el ángulo formado por b y d.
24.-Construir un romboide conociendo su lado mayor AB, ángulo de las diagonales y la atura h.
25.-Construir un cuadrilátero inscriptible conociendo sus diagonales, en ángulo que forman y el radio de la circunferencia circunscrita
26.-Construir, dibujar, un cuadrilátero circunscriptible conociendo sus ángulos y que a+c=m.
27.-Dadas cuatro rectas r, s, t, v inscribir un paralelogramo que tenga un vértice en cada una de las rectas y del que se conocen dos vértices consecutivos A y B.
28.-Construir un paralelogramo A,B,C y D, conociendo la magnitud de la diagonal mayor AC, la separación h entre los lados AD y BC y su perímetro 2p.
Cuadrados
1.-Dibuja un cuadrado conociendo d4-l4 (diagonal-lado).
2.-Construir un cuadrado sabiendo que dos vértices opuestos están situados sobre una recta dada y los otros dos sobre dos circunferencias dadas.
3.-Construir un cuadrado conociendo la suma o la diferencia entre la diagonal y el lado.
4.-Dibuja un cuadrado ABCD, de modo que tenga un vértice en la recta r, otro en la recta s y otro en la recta t.
5.-Dibujar un cuadrado de modo que cada punto pertenezca a un lado del cuadrado.
6.-Se dan una circunferencia y una recta. Construir un cuadrado que tenga un lado en la recta y el otro en una cuerda de la circunferencia.
7.- Dadas tres rectas paralelas y una secante, construir un cuadrado que tenga un vértice en cada una de las rectas.
8.-Construir un cuadrado cuyos lados, o prolongaciones, pasan por cuatro puntos dados en línea recta.
9.-Inscribir un cuadrado en un paralelogramo dado.
10.-Construir un cuadrado sabiendo la posición del vértice A y las distancias de un punto P a los vértices D y C.
11.-Circunscribir a un cuadrado dado, otro cuadrado de perímetro conocido.
12.-Dados los puntos A y B y un segmento conteniendo los puntos G, H e I, se sabe que A y B pertenecen respectivamentea las diagonales CE y DF de un cuadrado CDEF cuyo centro es O. La distancia de A a O es igual a GH y la medida del lado del cuadrado igual GI. Construya el cuadrado CDEF.
Polígonos regulares.
Construcciones de cuadrado, pentágono, hexágono , octógono , decágono, conociendo el lado o el radio de la circunferencia circunscrita.
Rectángulos.
1.-Construir un rectángulo conociendo el perímetro 2p y el ángulo de las diagonales.
2.-Se dan dos magnitudes; una representa la diagonal d, y la otra, la suma de tres lados contiguos , b + 2a, de un rectángulo. Construir el rectángulo.
3.-Construir un rectángulo, dados cuatro puntos por donde han de pasar cada uno de sus lados, y la magnitud de uno de sus lados.
4.-Circunscribir a un cuadrilátero ABCD, un rectángulo de diagonal dada.
5.-Construir un rectángulo, conociendo la diferencia de dos lados contiguos y el ángulo de las diagonales.
6.-Construir un rectángulo, conociendo el perímetro 2p, y la relación m/n, de dos lados contiguos.
7.-Construir un rectángulo, conociendo la diagonal, la suma m+n, o la diferencia m-n, entre dos lados contiguos.
8.-Dado un triángulo, inscribir en él un rectángulo cuyo perímetro sea igual a una magnitud dada 2p.
9.-Inscribir en un sector circular un rectángulo de diagonal dada.
10.-Construir un rectángulo conociendo la suma m+n y la diferencia m-n, entre dos lados contiguos.
11.-Determinar gráficamente un rectángulo del que se conocen su perímetro 2p y su superficie a.
Rombos
1.-Construir gráficamente el rombo conocido un lado l = 80 mm. y el radio de la circunferencia inscrita r = 35 mm. Dar una definición de arco capaz.
2.-Construir un rombo conociendo el lado y el radio de la circunferencia inscrita.
3.-Construir un rombo de manera que dos de sus lados estén situados sobre dos rectas paralelas dadas, y los otros dos lados pasen por dos puntos dados.
4.-Construir un rombo de 40 mm. de lado, cuyas diagonales sumen 100mm.
5.-Construir un rombo conociendo el lado y la suma de sus diagonales.
6.-Construir un rombo conociendo: radio de la circunferencia determinada por los extremos de la diagonal mayor y un extremo de la menor; radio de la circunferencia determinada por los extremos de la diagonal menor y un extremo de la mayor.
7.-En un cuadrilátero inscribir un rombo cuyos lados sean paralelos a las diagonales del cuadrilátero.
8.-Construir un rombo que esté inscrito en un cuadrilátero inscriptible dado.
9.-Construir un rombo conociendo: ángulo A menos ángulo B; diagonal AC.
10.-Construir un rombo conociendo Un ángulo A= 60º y la diferencia de las diagonales.
11.-Construir un rombo conociendo Un ángulo A= 60º y la suma de las diagonales.
Trapecios
1.- Construir gráficamente el trapecio conocida una base b=50 mm., sus lados l1=35 mm. y l2=40 mm. y una diagonal d=70 mm.
2.-Dibuje un trapecio escaleno conocidas las dos bases b = AB y b' = CD y las dos diagonales d = CB y d' = AD. Dibuixeu un trapezi escalè conegudes les dues bases b = AB i b' = CD i les dues diagonals d = CB i d' = AD .
3.-Dado el centro O de una circunferencia y una cuerda AB de la misma, represente el trapecio isósceles inscrito en la circunferencia, siendo su base mayor la cuerda AB, y sabiendo que las diagonales forman con ella un ángulo de 45º. Deduzca razonadamente el valor de los ángulos que forman las diagonales con la base menor .
4.-Construya un trapecio isósceles sabiendo que el radio de la circunferencia circunscrita es de 40 mm, la longitud del lado no paralelo es de 52 mm y su altura es de 44 mm. (2 PUNTOS) Construïu un trapezi isòsceles sabent que el radi de la circumferència circumscrita és de 40 mm, la longitud del costat no paral·lel és de 52 mm i la seua altura és de 44 mm.
5.-En un círculo dado, inscribir un trapecio, conocida la altura y la diferencia de las bases.
6.-Construir dibujar un trapecio conociendo las diagonales, la recta que une los puntos medios de los lados no paralelos, y un ángulo A.
7.- Circunscribir a un círculo dado un trapecio isósceles de perímetro dado.
8.-Construir un trapecio conociendo: las diagonales, el ángulo que forman, y la diferencia de los lados contiguos.
9.-Construir un trapecio conociendo: las diagonales, el ángulo que forman, y la suma de los lados contiguos.
10.-Construir un trapecio conociendo: puntos medios de las diagonales, el punto P de intersección de los lados no paralelos y la altura.
11.-Construir un trapecio conociendo sus ángulos y las diagonales.
12.-Construir un trapecio sabiendo que la diferencia de sus lados paralelos es BC-AD = 50 mm, siendo AB = 30, BD = 40 y CD = 40 mm.
13.-Construir un trapecio isósceles conociendo: suma de bases; lado a; diagonal d.
14.-Construir un trapecio isósceles conociendo: base mabase mayor AB, base menor CD y la magnitud de la diagonal.
15.-Construir un trapecio isósceles conocida una diagonal AC, el ángulo que forma dicha diagonal con el lado AB y que tres lados son iguales.
Puntos. Ángulos.
1.-Dado un diámetro MN de una circunferencia O y dos puntos A y B sobre ella en su parte superior, hallar en la parte inferior de la circunferncia un punto P tal que las rectas PA y PB corten al diámetro en dos puntos C y D a un mismo lado de O de modo que: OC/OD = p/q.
2.-Sobre una recta dada determinar un punto que esté a igual distancia de una recta dada y un punto dado.
3.-Desde un punto N se ven otros dos A y B bajo un ángulo alfa conocido. El punto N avanza una distancia m en una dirección X dada, y entonces se ven los mismos puntos bajo un ángulo beta también conocido. Hallar la posición del punto N'.
4.-Sobre una recta r dada hallar un punto X cuyas distancias a puntos dados A y B tengan una diferencia dada de modo que: AX-BX = m.
5.-Dadas las circunferencias O y O1, y una recta r, hallar en ésta recta un punto P, de modo que las tangentes trazadas desde él a las dos circunferencias formen el mismo ángulo con la recta r.
6.-Dos circunferencia pasan por A y B respectivamente. Hallar sobre el eje radical de estos, un punto P tal que la recta que une los puntos C y D en que PA y PB cortan por segunda vez a las circunferencias, sea perpendicular al eje radical.
7.-Dados tres puntos armónicos A, B y C, hallar el cuarto. Costrucción de una cuaterna armónica por distintos métodos.
8.-Dado un cuadrilátero M,N,P,Q, hallar sobre el lado MN un punto R tal que el ángulo MRQ sea el doble del MRP.
Puntos. Distancias. Cuerdas.
1.-Se dan dos paralelas, un punto A sobre una recta y un punto B sobre la otra, trazar por P una recta que corte las anteriores en X e Y de modo que AX/BY = m/n.
2.-Trazar una recta de dirección dada que corte a dos círculos O y O' dados de modo que las cuerdas interceptadas tengan una diferencia dada.
3.-Dadas dos circunferencias y un punto exterior a ellas, trazar por éste una secante de modo que las corte según cuerdas iguales.
4.-Dadas dos circunferencias y un punto, trazar por éste una recta que equidiste de las dos.
5.-Dada una circunferencia y un punto exterior, trazar desde él una secante, tal que la circunferencia con diámetro igual a la cuerda interceptada, sea tangente al diámetro que pase por el punto dado.
6.-Por uno de los puntos comunes de dos circunferencias secantes, trazar a cada una, una cuerda de modo que las dos sean iguales y formen un ángulo conocido.
7.-Dada una recta r, dos circunferencias de distinto radio, una a cada lado de la recta, determinar un segmento AB de modo que tenga su punto medio en la recta r y sea perpendicular a la misma.
8.-Dadas dos circunferencias de distinto radio, determinar un segmento AB de modo que A sea tangente a una circunferencia y B pertenezca a la otra.
9.-Dada una circunferencia O y una recta r exterior, trazar una secante perpendicular a la recta, tal que una de sus puntos de intersección con O sea el punto medio del segmento, cuyo extremos están uno en la recta r, y el otro es el segundo punto de intersección con O de la recta buscada.
10.-Trazar por un punto dado una secante a una circunferencia dada, de manera que la parte externa sea igual a la cuerda.
11.-Se dan un ángulo y un punto. Trazar por éste dos rectas antiparalelas que formen un ángulo alfa.
12.-Dadas dos paralelas r y s, una tercera recta t y un punto P. Trazar por P una recta que corta a las anteriores respectivamente en puntos A, B y C, tales que AB y CP estén en una relación dada AB/CP = m/n ( P está en la parte inferior a las rectas r y s).
13.-Un río de márgenes paralelas y rectas pasa entre dos pueblos A y B a desigual distancia entre ambos. Averiguar el punto donde se construirá un puente normal al curso del río para que A y B estén a la misma distancia de la entrada del puente.
14.-Trazar una paralela a uno de los lados de un triángulo de tal manera que la parte interceptada por los otros dos, sea igual a la diferencia de los segmentos determinados por las dos paralelas.
15.- Dos rectas paralelas r y s son cortadas por otra t perpendicular a ellas en A y B. Desde un punto M de t, trazar otra recta que corte a las anteriores en dos puntos Q y P de modo que AP = PQ.
16.-Por uno de los puntos de intersección de dos circunferencias dadas, trazar una secante que tenga por punto medio el punto de intersección de las dos circunferencias.
17.-Se da una circunferencia O, una recta r y un punto P. Trazar por P una secante que corte a la circunferencia en A y a la recta en B, de modo que PA = PB.
18.-Trazar una paralela a uno de los lados de un triángulo de tal manera que la parte interceptada por los otros dos lados sea igual a la suma de los segmentos determinados por las dos paralelas sobre dichos lados.
19.-Por un punto M trazar una recta que corte a otras tres r, s, t, de tal manera que los puntos de intersección A, B, C y el dado M formen una cuaterna armónica.
20.-Dadas dos circunferencias exteriores C1 y C2 y una recta r, trazar una secante paralela a r de manera que la suma de las cuerdas sean igual a una magnitud conocida m.
21.-Dadas dos circunferencias C1 y C2 y un punto P, trazar por P una recta que corte a las circunferencias en M y N tal que PM/PN = m/n.
22.-Representar dos dos segmentos c y d, sabiendo que su suma vale X y que son proporcionales a otros dos dados a y b.
23.-Dada una circunferencia de centro O y un punto exterior a la misma, trazar las cuerdas que, pasando por el punto, queden divididas por este en dos partes, una el doble que la otra.
Semejanza y Proporcionalidad: Teorema de Thales.
Tercera, cuarta y media proprcional: Teorema de Thales.
Tangencias y Enlaces
Nociones básicas
1.-Dado un punto exterior a una circunferencia trazar las rectas tangentes a la misma.
2.-Trazar las rectas tangentes exteriormente a dos circunferencias dadas.
3.-Trazar las rectas tangentes interiormente a dos circunferencias dadas.
4.-Dibujar los arcos de circunferencia tangentes a la recta R y a la circunferencia definida por los puntos A, B y C, en el punto A determinando geométricamente los centros y los puntos de tangencia con la recta R.
5.-Dadas las rectas R y S y la circunferencia de centro O, se pide: 1.- Trazar los enlaces entre la circunferencia y la recta R, conociendo el punto de tangencia T' en la circunferencia. Determinar geométricamente los centros de los arcos de enlace y puntos de tangencia en la recta. 2-Trazar los enlaces entre la circunferencia y la recta S, conociendo el punto de tangencia T'' en la recta.Determinar geométricamente los centros de los arcos de enlace y puntos de tangencia en la recta.
6.-Se desean construir dos enlaces de forma que se una la circunferencia C con las rectas R1 y R2 sabiendo que: 1) entre C y R2 la tangencia sobre C está en T2 2) entre C y R1 la tangencia sobre R1 está en T1 Señalar todos los puntos de tangencia.
7.-Dibuja la recta tangente al arco A B concurrente en un vértice desconocido que forman las rectas r y s.
8.-Dibuja TODAS las circunferencias de radio 10 mm, que son tangentes a la vez a las dos dadas. Señala claramente los puntos de tangencia.
9.-Dado el croquis de la figura, obtenga el dibujo a escala 1:3, sabiendo que los radios de los tres arcos son iguales. Indique los centros de los arcos a trazar y los puntos de tangencia. Se valorará el uso de escalas gráficas para la representación Donat el croquis de la figura, obteniu el dibuix a escala 1:3, sabent que els ràdios dels tres arcs son iguals. Indiqueu els centres dels arcs a traçar i els punts de tangència. Es valorarà l'ús d'escales gràfiques per a la representació.
10.-Dado el croquis de la figura, obtenga el dibujo a escala 3:4, situando el punto A en el lugar indicado. Indique los centros de los arcos a trazar y los puntos de tangencia entre los diversos arcos y rectas. Se valorará el uso de escalas gráficas para la representación. Donat el croquis de la figura, obteniu el dibuix a escala 3:4, situant el punt A en el lloc indicat. Indiqueu els centres dels arcs a traçar i els punts de tangència entre els diversos arcs i rectes. Es valorarà l'ús d'escales gràfiques per a la representació
11.-Dado el croquis de la figura, represente el dibujo a escala 1:1, indicando los centros de los arcos a trazar y los puntos de tangencia entre los diversos arcos y rectas. Donat el croquis de la figura, representeu el dibuix a escala 1:1, indiqueu els centres dels arcs que s'han de traçar i els punts de tangència entre els diversos arcs i rectes
12.-Dibujar la figura adjunta compuesta por rectas y arcos a escala 1:1. (Obtener puntos de tangencia y no borrar las construcciones auxiliars empleadas).
13.-Construir gráficamente un ovoide dados los ejes AB = 50 mm. y CD = 90 mm. Trátelo como casos de tangencias entre arcos de circunferencias.
14.-Trazar las circunferencias tangentes a dos circunferencias dadas c1 y c2 conocido el punto de tangencia T sobre c1. (Obtener puntos de tangencia y centros de circunferencias).
15.-Trazar las circunferencias tangentes a una recta r y que pasen por dos puntos A y B dados exteriores a ella. (Obtener los puntos de tangencia y centros de circunferencias).
16.-Delinear a E 1:1, la pieza representada en el croquis adjunto. Resolver gráficamente todos los problemas de tangencia, dejando indicadas las construcciones auxiliares necesarias.
17.-Dada la circunferencia de centro O, la recta r y el punto T, dibujar las circunferencias que sean tangentes a la circunferencia, a la recta y que pasen por el punto T.
18.-Determinar la circunferencia tangente a la recta t que pasa por el punto R y tiene su centro en r. Exponer razonadamente el fundamento de la construcción empleada.
19.-Completar a escala 3/2 el dibujo de la pieza croquizada, determinando gráficamente los puntos de tangencia.
20.-Rpresentar la arandela cuya circunferencia exterior es tangente a la recta t y la interior, de 10 mm menos de radio, pasa por los puntos A y B.
21.-Hallar gráficamente las circunferencias tangentes a la circunferencia de centro O y a las rectas r y s.
22.-Dibujar las circunferencias que siendo tangentes a la recta r lo sean también a la circunferencia c en T. Exponer razonadamente el fundamento de la construcciòn empleada.
Dibujar las circunferencias que pasen por dos puntos y que sean tangentes a una recta. Segundo caso: PPR.
23.-Dibujar las circunferencias tangentes a tres rectas .Tercer caso: PRR. Hay dos soluciones.
24.-Dibujar las circunferencias tangentes a tres rectas .Cuarto caso: RRR. Hay cuatro soluciones.
25.-Dibujar las circunferencias que siendo tangentes a una circunferencia C dada, tienen el mismo eje radical que las circunferencia C1 y C2 también dadas.
Tangencias. Problemas de Apolonio.
1.-Dibujar una circunferencia que pase por tres puntos. Primer caso: PPP. Sólo hay un a circunferencia que pasa por tres puntos no alineados.
2.-Dibujar las circunferencias que pasen por dos puntos y que sean tangentes a una recta. Segundo caso: PPR.
3.-Dibujar las circunferencias tangentes a tres rectas .Tercer caso: PRR. Hay dos soluciones.
4.-Dibujar las circunferencias tangentes a tres rectas .Cuarto caso: RRR. Hay cuatro soluciones.
5.-Dibujar las circunferencias que pasen por dos puntos y sean tangentes a una circunferencia. Quinto caso: PPC.
6.-Dibujar las circunferencias que pasen por un punto y sean tangentes a una recta y a una circunferencia. Sexto caso: PRC.
7.-Dibujar las circunferencias tangentes a dos rectas y a una circunferencia. Septimo caso: RRC.
8.-Dibujar las circunferencias tangentes una recta y a dos circunferencias . Octavo caso: RCC.
9.-Dibujar las circunferencias que pasen por un punto (cuando sea exterior a las dos, cuando sea interior a una , cuando perteneza a una) y sean tangentes a otras dos circunferencias. Noveno caso: PCC.
10.-Dibujar las circunferencias tangentes a otras tres circunferencias. Décimo caso: CCC.
Traslación. Simetría. Homotécia. Inversión.
Breva teoría de las transformaciones geométricas en el plano: Traslación, Giro, Simetría y Reflexión, Homotécia, Inversión.
1.-Determinar la figura inversa de la ABCA en una inversión de centro O tal que C=C'.
2.-Representar la figura A'B'C'D' homotética de la ABCD dada y de área mitad que ésta, que tiene en común con ella el vártice A=A' y la recta que contiene los puntos A, D, y D'.
3.-Determinar gráficamente la figura, A'B'C', transformada de la ABC, en la inversión de centro O y potencia OB2.
4.- Se quiere repartir en partes iguales una finca triángular ABC, de modo que el lado A'C' sea paralelo al lado AC.
5.-Dibujar los segmentos de igual tamaño y dirección del segmento AB y que tengan el extremo A en C2 y el extremo B en C1.
6.-Dibuja un cuadrado ABCD, de modo que tenga un vértice en la recta r, otro en la recta s y otro en la recta t.
7.- Una bola de billar sale de un punto A, según una dirección r, rebota en una banda m y en otra banda n que pasa por E, volviendo al punto D. Representar la trayectoria de la bola y la banda n.
8.-Dadas las rectas r y s y un punto P. Dibujar una recta t que pase por P y forme el mismo àngulo con r y con s.
9.- Dibuje dos rectas de forma que una de ellas pase por A y la otra por B, y la recta r sea bisectriz de ambas. Razone la solución. Dibuixeu dues rectes de manera que una passe per A i l'altra per B, i la recta r siga bisectriu d'ambdues. Raoneu la solució.
10.-Determinar el segmento AB que pasa por P, conocido, cuyos extremos se situan sobre las rectas a y b, respectivamente, cumpliéndose la relación PA = 2 PB. Exponer razonadamente el fundamento de la construcción empleada.
11.-Dibuje todos los segmentos de longitud 4 cm. que se apoyen simultáneamente en las rectas rs y que formen 45º con la recta r. Indique los pasos utilizados en la solución. Dibuixeu tots els segments de longitud 4 cm que recolzen simultàniament en les rectes r i s, i que formen 45º amb la recta r. Indiqueu els passos utilitzats en la solució.
12.-Dibuixeu una circumferència de 5 cm de radi que passi pel punt P i que intercepti un segment de 4 cm en la recta r. CASTELLANO: Dibuje una circunferencia de 5 cm de radio que pase por el punto P y que intercepte un segmento de 4 cm en la recta r.
13.-Representar la trayectoria de un rayo que partiendo de A se refleje en el espejo e1 y en el e2 antes de alcanzar la posición B. Razonar las construcciones empleadas.
Puntos y rectas notables de los triángulos.
Puntos y rectas notables de los triángulos: Incentro, Circuncentro, Alturas, Mediana, Bisectiz, Recta de Euler, Suma de lados, Perímetro.
Problemas de triángulos
1.-Dibujar un triángulo ABC, conociendo: a = 60; ha = 40; ma = 45.
2.-Dibujar un triángulo ABC, conociendo: a = 60; ha = 40; A = 60º
3.-Dibujar un triángulo ABC, conociendo: a = 60; A = 60º; ma = 45
4.-Dibujar un triángulo ABC conociendo: a pertenece a la recta r; M = pie de hb; N = pie de hc.
5.-Dibujar un triángulo ABC conociendo: ha = 40; va(no Ceviana, extensión hasta cfr.crta)= 75; ma = 48.
6.-Dibujar un triángulo ABC conociendo: a = 70; b+c = 80; A = 120º.
7.-Dibujar un triángulo ABC conociendo: 2p = 115; C = 45º; B = 60º.
8.-Dibujar un triángulo ABC conociendo: 2p = 115; A = 60º; ha = 28.
9.-Dibujar un triángulo A, B, C, conociendo: ma = 27; mb =38; mc =50.
10.-Dibujar un triángulo ABC conociendo: Â =75º; ha= 49; ma=65.
11.-Dibujar un triángulo ABC conociendo:^B = 60º; rE (radio circunferencia exinscrita en B)= 33; hc = 45.
12.-Dibujar un triángulo ABC conociendo: O= ortocentro; ha= 70; y que la recta r contiene el lado b y el vértice A.
13.-Dibujar un triángulo ABC conociendo: a = 70; b+c = 80; A = 90º.
14.-Dibujar un triángulo ABC conociendo: Rc (radio circunferencia circunscrita) = 30; Â= 45º; AB=2/3 de AC.
15.-Dibujar un triángulo ABC conociendo: ha = 50; hb = 86; hc = 51.
16.-Dibujar un triángulo ABC conociendo: c = 66; C = 60º; Radio Incentro = 16.
17.-Dibujar un triángulo ABC conociendo: 2p=230; b = 60; ha=45.
18.-Dibujar un triángulo ABC conociendo: A = 75º; ha = 40; ma=46
19.-Dibujar un triángulo ABC conociendo: A = 45º; b-c = 30; a=60.
20.-Dibujar un triángulo ABC conociendo:^B = 60º; rE (radio circunferencia exinscrita en B)= 33; hc = 45.
21.-Dibujar un triángulo ABC conociendo: O= ortocentro; ha= 70; y que la recta r contiene el lado b y el vértice A.
22.-Dibujar un triángulo ABC conociendo: a = 70; b+c = 80; A = 90º.
23.-Dibujar un triá;ngulo ABC conociendo: Rc (radio circunferencia circunscrita) = 30; Â= 45º; AB=2/3 de AC.
24.-Dibujar un triángulo ABC conociendo: ha = 50; hb = 86; hc = 51.
25.-Dibujar un triángulo ABC conociendo: c = 66; C = 60º;; Radio Incentro = 16.
26.-Dibujar un triángulo ABC conociendo: 2p=230; b = 60; ha=45.
27.-Dibujar un triángulo rectángulo en A conociendo: ángulo C; hipotenusa a y a-c
28.-Dibujar un triángulo ABC conociendo: A = 45º;; b-c = 30; a=60.
29.-Dibujar un triángulo ABC conociendo: A = 75º;; B = 45º;; Wa=45.
30.-Triangulo ABC, conociendo: perímetro 2p; ángulo A; altura ha.
31.-Triágulo ABC, conociendo: perímetro 2p; ángulo A; altura hc.
32.-Triángulo ABC, conociendo: lado a; b menos c; ángulo ^B menos ángulo ^C.
33.-Triángulo ABC, conociendo: ángulo Â; lado a; circunferencia exinscrita ra.
34.-Triángulo ABC, conociendo: bisectriz Wa; diferencias AB-BW y AC-CW.
35.-Triángulo ABC, conociendo: radio circunferencia inscrita r; circunferencia exinscrita ra; c-b.
36.-Triángulo ABC, conociendo: lado a; circunferencia inscrita r; b+c.
37.-Triángulo ABC, conociendo: lado a; ángulo Â; un punto P de la bisectriz.
38.-Triángulo ABC, conociendo: lado a; bisectriz WA; ángulo Â.
39.-Triángulo ABC, conociendo: lado a; altura hb; b+c.
40.-Dados el segmento AB, el punto E y la recta S, se pide: 1. Dibujar el triángulo ABC sabiendo que el ángulo en el vértice C es de 60º y está situado a la distancia más corta del punto E. 2. Representar la circunferencia inscrita en el triángulo ABC. 3. Trazar la circunferencia tangente a la recta S y a la circunferencia inscrita en el triángulo ABC en su punto de tangencia con el lado BC.
41.-Dibujar un triángulo A,B,C conociendo el perímetro 2p, el ángulo A, y un punto P perteneciente al lado a.
42.-Construir, Dibujar un triángulo equilátero de modo que tenga un vértice en el punto A, otro en la circunferencia de centro O1 y otro en la circunferencia de centro O2.
43.-Construir, Dibujar un triángulo equilátero de mayor área posible cuyos lados pasen por los puntos P, Q y R dados.
44.-Construir, Dibujar un triángulo isósceles canociendo el ángulo desigual A y que los lados pasen por los puntos P, Q y R dados.
45.- Construir, Dibujar un triángulo ABC, conociendo: lado a; radio rb circunferencia exinscrita lado b; radio rc circunferencia exinscrita lado c.
46.- Construir, Dibujar un triángulo ABC, conociendo: lado a más lado b; radio rb circunferencia exinscrita lado b; radio ra circunferencia exinscrita lado a.
47.-Construir, Dibujar un triángulo ABC, conociendo: lado b; lado c; mediana ma.
48.-Construir, Dibujar un triángulo ABC, conociendo: lado a; lado b partido lado c; mediana mc.
49.- Construir, Dibujar un triángulo ABC, conociendo: ángulo A; las dos medianas BD igual mb y CE igual mc.
50.-Construir, Dibujar un triángulo ABC, conociendo: centro de gravedad G; vértice A y dos circunferencias sobre las cuales deben situarse los otros dos vértices.
51.- Construir, Dibujar un triángulo ABC, conociendo: lado b; mediana mb; ángulo que forma la mediana ma con el lado a.
52.- Construir, Dibujar un triángulo ABC, conociendo: lado a; ángulo Â; un punto P de la bisectriz.
53.- Construir, Dibujar un triángulo ABC, conociendo: lado a; lado b; radio rc de la circunferencia exinscrita relativa al lado c.
54.-Construir, Dibujar un triángulo ABC, conociendo: altura ha ; mediana mb; mediana ma.
55.- Construir un triángulo ABC tal que el radio de su circunferencia circunscrita sea p=35 mm, siendo el ángulo  =45º y la altura ha = 45mm.
56.-Construir, Dibujar un triángulo ABC, conociendo: lado a; ángulo B; b-ha.
57.-Construir, Dibujar un triángulo ABC, conociendo: mediana mc; altura ha; altura hb .
58.-Construir, Dibujar un triángulo ABC, conociendo: altura ha; medianas mb y mc.
59.-Construir, Dibujar un triángulo ABC, conociendo: altura ha; medianas ma y mb.
60.-Construir, Dibujar un triángulo ABC, conociendo: ángulo A, altura ha; mediana mb.
61.-Construir, Dibujar un triángulo ABC, conociendo: la mediana mc; mediana m; ángulo que forma la mediana mb con el lado a.
62.-Construir, Dibujar un triángulo ABC, conociendo: lado a; altura ha; ángulo que forma el lado c con la mediana mb.
63.-Construir, Dibujar un triángulo isósceles conociendo la altura y la mediana relativa a uno de los lados iguales .
64.-Construir, Dibujar un triángulo ABC, conociendo: mediana relativa al lado a, ma; altura ha; bisectriz Wa.
65.-Construir, Dibujar un triángulo ABC, conociendo: los segmentos OA y OB, siendo O el baricentro; el lado AB es media prporcional de OA y OB.
66.-Construir, Dibujar un triángulo ABC, conociendo: altura ha; altura hb; ángulo que forma el lado B con la mediana ma.
67.-Construir, Dibujar un triángulo ABC, conociendo: mediana ma; altura ha; altura hb .
68.-Construir, Dibujar un triángulo ABC, conociendo: lado a, lado b; diferencia entre los ángulos A y B.
69.-Construir, Dibujar un triángulo ABC, conociendo: lado a; altura ha; diferencia entre los águlos A y B igual ángulo dado alfa.
70.-Construir, Dibujar un triángulo ABC, conociendo: ángulo A, radio circunferencia inscrita; diferencia entre lado b y c.
71.-Dadas tres rectas paralelas, dibujar un triángulo equilátero de modo que cada vértice pertenezca a una recta.
72.-Construir, Dibujar un triángulo rectángulo conociendo: bisectriz Vb; centro de la circunferencia inscrita.
73.-Construir, Dibujar un triángulo conociendo lado CB; recta r que contiene el vértice A; diferencia entre los lados b y c.
74.-Construir, Dibujar un triángulo ABC, conociendo: diferencia entre los lados b y c; ángulo A; altura ha.
75.-Construir, Dibujar un triángulo ABC, conociendo: mediana ma; lado AC; radio de la circunferencia circunscrita.
76.-Construir, Dibujar un triángulo rectángulo conociendo los pies de las tres bisectrices.
77.-Construir, Dibujar un triángulo ABC, conociendo: lado a, ángulo A, y sabiendo que Wa2 = m*n.
78.-Construir, Dibujar un triángulo ABC, conociendo en posición la circunferencia circunscrita y la recta que contiene ha; lado a más lado b y altura ha + altura hb.
79.-Construir, Dibujar un triángulo ABC, conociendo: ángulo A,lado b más lado c, bisectriz relativa al lado a Wa.
80.-Construir, Dibujar un triángulo ABC, conociendo: bisectriz Va, ángulo C, distancia del ángulo B a la bisectriz Va.
81.-Construir, Dibujar un triángulo conociendo: lado a, ángulo A y el perímetro del triángulo órtico 2p.
82.-Construir, Dibujar un triángulo conociendo en posición el lado BC, la recta r que contiene el vértice A, y la diferencia entre el ángulo B y el ángulo C .
83.-Construir, Dibujar un triángulo conociendo: lado a, ángulo A y la relación entre la mediana mb y la mediana mc (mb/mc).
84.-Construir, Dibujar un triángulo ABC, conociendo: lado a, ángulo A, diferencia lado b menos lado c (b-c).
85.-Construir, Dibujar un triángulo ABC, conociendo: ángulo A, altura ha, y la suma del lado b más lado c (b+c).
86.-Construir, Dibujar un triángulo conociendo las alturas ha y hb; el ángulo que forma la mediana mc con el lado c.
87.-Construir, Dibujar un triángulo ABC, conociendo: mediana ma; ángulo A; diferencia entre lado b y lado c.
88.-Construir, Dibujar un triángulo ABC, conociendo: la dirección del lado a y su punto medio; posición del vértice A; ángulo A.
89.-Construir, Dibujar un triángulo ABC, conociendo: lado a; lado b; bisectriz Wc.
90.-Construir, Dibujar un triángulo ABC, conociendo: lado b; lado c; ángulo que forman las medianas mb y mc.
91.-Construir, dibujar un triángulo conociendo: lado a; mediana mb; ángulo que forma la mediana ma con el lado b.
92.-Construir, dibujar un triángulo conociendo: distancia entre el lado b y la mediana ma; ángulo A, mediana ma.
93.-Construir, dibujar un triángulo cuya hipotenusa pase por los puntos M y N dados, un cateto pase por un punto P y el otro por un punto Q dados. Se conoce además el altura correspondiente a la hipotenusa.
94.-Dadas dos rectas paralelas y una secante, construir un triángulo equilátero de lado dado, de manera que dos de sus vértices estén en las paralelas y el tercero en la secante.
95.-Construir, dibujar un triángulo rectángulo conociendo: suma de los catetos S; radio del círculo inscrito r.
96.-Construir, Dibujar un triángulo conociendo: lado a; lado b menos lado c; altura hc menos altura hb.
97.-Construir, Dibujar un triángulo ABC, conociendo: lado a; lado b más lado c; bisectriz Va.
98.-Construir, Dibujar un triángulo ABC, conociendo: ángulo A; altura ha; radio circunferencia inscrita r.
99.-Construir, Dibujar un triángulo ABC, conociendo: ángulo A; mediana mb; lado b más lado c.
100.-Construir, Dibujar un triángulo ABC, conociendo: lado a; lado b igual al doble del lado c (b=2c); bisectriz interior Va igual un tercio de la bisectriz exterior (Va=V'a/3).
101.-Construir, dibujar un triángulo conociendo los pies de las medianas ma y mb; el pie de la altura ha.
102.-Construir, dibujar un triángulo conociendo: lado a; lado b menos lado c; ángulo B igual al doble del ángulo C (^B=2^C).
103.-Construir, dibujar un triángulo rectángulo conociendo un cateto y la diferencia de la hipotenusa y el otro cateto.
104.-Construir, dibujar un triángulo conociendo la posición de los pies de la mediana ma, la bisectriz Va, el altura ha, y sabiendo que Va es también bisectriz del ángulo formado por la mediana ma y el altura ha.
105.-Construir, dibujar un triángulo conociendo: radio de la circunferncia inscrita r; lado c menos lado b; ángulo C menos ángulo B.
106.-Construir, Dibujar un triángulo conociendo: mediana ma; ángulo B menos ángulo C; lado a.
107.-Construir, Dibujar un triángulo ABC, conociendo: lado a; la suma de los lados b y c; mediana ma.
108.-Construir, Dibujar un triángulo ABC, conociendo: ángulo A; la suma de los lados b más c; la suma del lado a más el lado c.
109.-Construir, Dibujar un triángulo rectángulo, conociendo la hipotenusa y la bisectriz del ángulo recto.
110.-Construir, Dibujar un triángulo ABC, conociendo: que b por c igual k cuadrado; altura ha; diferencia entre ángulo B y ángulo C.
111.-Construir, dibujar un triángulo conociendo los pies de la altura ha, de la bisectriz Wa y el circuncentro.
112.-Construir, dibujar un triángulo conociendo: rb, radio de la circunferencia exinscrita relativa al lado b; rc, radio de la circunferencia exinscrita relativa al lado c; ángulo B menos ángulo C.
113.-Construir, dibujar un triángulo conociendo: ángulo A; bisectriz Wa; y que lado b multiplicado lado c igual k cuadrado.
114.-Construir, dibujar un triángulo conociendo: ángulo A; lado a; W'a, bisectriz exterior relativa al ángulo A.
115.-Construir, dibujar un triángulo conociendo en posición, sus tres bisectrices y un punto P de uno de sus lados.
116.-Construir, Dibujar un triángulo rectángulo conociendo la hipotenusa a y la bisectriz Vb.
117.-Construir, Dibujar un triángulo ABC, conociendo: la madiana ma; la suma de mb más mc; ángulo que forman las medianas mb y mc.
118.-Construir, Dibujar un triángulo ABC, conociendo: lado a; diferencia lado b menos lado c; r, radio de la circunferencia inscrita.
119.-Construir, Dibujar un triángulo conociendo los pies de las tres alturas.
120.-Construir, Dibujar un triángulo ABC, dados los tres centros de las circunferencias exinscritas.
121.-Construir, dibujar un triángulo conociendo: ángulo A; la suma de lado a más lado b; diferencia lado b menos lado c.
122.-Construir, dibujar un triángulo conociendo: diferencia entre radio circunferencia exinscrita en a = ra; ángulo B menos ángulo C; lado b menos lado c.
123.-Construir, dibujar un triángulo conociendo: ángulo B menos ángulo C; lado b más segmento HC; lado c más segmento HB; H = pie de la altura ha.
124.-Construir, dibujar un triángulo conociendo: altura ha; madiana ma; suma de lado a más lado c.
125.-Construir, dibujar un triángulo conociendo el centro de la circunferencia circunscrita y los centros de las circunferencias exinscrita relativas a los lados c y a.
126.-Construir, Dibujar un triángulo conociendo: lado c; altura hc; ángulo que forma la mediana ma con el lado b.
127.-Construir, Dibujar un triángulo ABC, conociendo: mediana ma; altura hb; altura hc.
128.-Construir, Dibujar un triángulo ABC, conociendo: mediana mb; altura hb y sabiendo que el ángulo B es igual al ángulo C.
129.-Construir, Dibujar un triángulo conociendo: lado b más lado c; radio de la circunferencia circunscrita; ángulo B menos ángulo C.
130.-Construir, Dibujar un triángulo ABC, conociendo: ángulo B menos ángulo C; lado b más lado c; altura hb.
131.-Construir, dibujar un triángulo conociendo: ángulo A; diferencia lado b menos lado c; bisectriz exterior relativa al lado a W'a.
132.-Construir, dibujar un triángulo conociendo: lado a; altura ha; suma mediana mb más mediana mc.
133.-Construir, dibujar un triángulo conociendo: ángulo B; lado b; suma altura ha más lado a.
134.-Construir, dibujar un triángulo conociendo: diferencia lado b menos lado c; diferencia ángulo B menos ángulo C; radio circunferencia circunscrita R.
135.-Construir, dibujar un triángulo conociendo: centro circunferencia circunscrita O; centro circunferencia inscrita I; centro circunferencia exinscrita al lado a Ra.
136.-Dibujar un triángulo ABC, sabiendo que las rectas r, s y t son las mediatrices y que el punto P esta en uno de sus lados.
137.-Construir, Dibujar un triángulo conociendo: mediana ma; altura ha; lado a.
138.-Construir, Dibujar un triángulo ABC, conociendo su triángulo órtico.
139.-Construir, Dibujar un triángulo conociendo: ángulo A; bisectriz Wa; altura ha.
140.-Construir, Dibujar un triángulo isósceles conociendo: suma de la altura más lado igual (ha+b); lado desigual a.
141.-Dibujar un triángulo ABC conociendo: altura relativa al lado a ha; mediana ma; bisectriz wa.
142.- Dibujar un triángulo isósceles conociendo: ángulo desigual A; suma de lado a más su altura ha (a+ha).
143.-Dadas las rectas r,s y t, dibujar un triángulo equilátero de modo que tenga un vértice en cada recta.
144.- Dibujar un triángulo ABC conociendo: lado a; altura ha; lado b menos lado c.
145.- Construir un triángulo conociendo: lado a más lado b; ángulo C; mediana ma.
146.- Dibujar un triángulo rectángulo conociendo la altura relativa a la hipotenusa y que un cateto mide la mitad de la hipotenusa.
147.- Dibujar un triángulo rectángulo ABC conociendo la hipotenusa BC y la proyección de la mediana mb (relativa al vértice B) sobre la hipotenusa.
148.- Dibujar un triángulo rectángulo conociendo su perímetro 2p y la relación entre los catetos b/c.
149.- Construir un triángulo ABC conociendo: mediana ma; mediana mb; ángulo C.
150.- Dibujar un triángulo ABC conociendo: mediana ma; lado a; ángulo A.
151.- Construir un triángulo isósceles conociendo el ángulo desigual A y la suma de la altura más el lado a (ha+a).
152.- Dibujar un triángulo rectángulo conociendo la mediana y la bisectriz relativas a la hipotenusa.
153.-Dibujar un triángulo ABC, conociendo: distancia d entre circuncentro y baricentro; magnitud del lado AB; radio circunferencia circunscrita.
154.-Dibujar un triángulo ABC, sabiendo que la recta r contiene la mediatriz de AB, la recta s contiene la mediatriz de AC y la recta t contiene la mediana relativa al vértice A.
155.-Dibujar el triangulo rectángulo ABC, siendo A el vértice del ángulo recto, conociendose la hipotenusa BC y el punto Q, por el que la bisectriz del ángulo recto, corta al lado BC.
156.-Construir, Dibujar un triángulo equilátero de modo que tenga un vértice en el punto A, otro en la circunferencia de centro O1 y otro en la circunferencia de centro O2.
157.-Construir, Dibujar un triángulo equilátero de mayor área posible cuyos lados pasen por los puntos P, Q y R dados.
158.-Construir, Dibujar un triángulo isósceles canociendo el ángulo desigual A y que los lados pasen por los puntos P, Q y R dados.
159.-Construir, Dibujar un triángulo conociendo: lado a; lado c y Wc pie de la bisectriz relativa al lado c.
160.-Dibujar un triángulo isósceles conociendo: perímetro 2p y que la base es el segmento áureo de los lados desiguales.
161.-Dibujar un triángulo ABC conociendo: lado a; mediana mc; altura hb.
162.- Dibujar un triángulo rectángulo en A conociendo las posiciones de los pies de las bisectrices Wc y Wb sobre los catetos y la posición del vértice A.
163.- Dibujar un triángulo ABC conociendo: dif. ángulo B menos ángulo C; altura ha y la diferencia de la proyección de los lados b y c, b'-c', sobre el lado BC.
164.- Dibujar un triángulo ABC conociendo: vèrtice A; mediana mb y la mediana mc.
165.- Dibujar un triángulo ABC conociendo: vèrtice A; ortocentro O; circuncentro C.
166.- Dibujar un triàngulo A,B,C conociendo la posiciòn del incentro I, el pie de la altura relativa al lado a Ha y el punto medio del lado a Ma.
167.- Dibujar un triàngulo A,B,C conociendo la bisectriz Wa, el lado a y el radio de la circunferencia circunscrita Rcc.
168.- Dibujar un triàngulo A,B,C conociendo la diferencia de los ángulo B-C ,las trazas de la bisectriz W, de la altura H y del punto medio M relativos al lado a.
Geomtría Descriptiva: Isométrico, Caballera
1.-Dado el alzado, planta y perfil izquierdo de una pieza a escala 2:3, según el método de representación del primer diedro de proyección, se pide: Dibujar su proyección isométrica, según los ejes dados, a escala 3:2.
2.-Dados el alzado, la planta y el perfíl izquierdo de una pieza según el sistema de representación del primer diedro de proyección a escala 2:5, representar su perspectiva isométrica a escala 1:1 según los ejes dados.
3.-Dada la pieza de la figura por sus proyecciones diédricas (sistema europeo), obtener la perspectiva isométrica de la misma a escala 2:1 (no es necesario aplicar coeficientes de reducción).
4.-Dada la pieza de la figura por sus proyecciones diédricas (sistema europeo), obtener la perspectiva caballera de la misma a escala 2:1. Se utilizará la siguiente disposición: reducción ½, ejes a 90º-135º- 135º. La orientación de la vista es libre siempre y cuando se representen correctamente las geometrías de la pieza.
5.-Dada la pieza de la figura por sus proyecciones diédricas (sistema europeo), obtener la perspectiva isométrica de la misma a escala 1:2 (no es necesario aplicar coeficientes de reducción). La orientación de la vista es libre siempre y cuando se representen correctamente las geometrías de la pieza.
6.-Dada la pieza de la figura por sus proyecciones diédricas (sistema europeo), obtener la perspectiva isométrica de la misma a escala 2:1 (no es necesario aplicar coeficientes de reducción). La orientación de la vista es libre siempre y cuando se representen correctamente las geometrías de la pieza
7.-Representar en PERSPECTIVA AXONOMÉTRICA, a escala 3:2, una figura correspondiente a las proyecciones diédricas dadas. Calcular gráficamente y aplicar , en la representación, los coeficientes de reducción. Dibujar el perfíl señalado de la solución dada.
8.-Representar en PERSPECTIVA CABALLERA, a escala 2:1, la figura dada por sus vistas. El coeficiente de reducción del eje Y es de 1/2. La posición de los ejes es la indicada.Dibujar el perfíl correspondiente a la figura.
9.-Representar en PERSPECTIVA ISOMÉTRICA, a escala 2:1, la figura dada por sus vistas. Determinar el coeficiente de reducción de los ejes. Dibujar el perfíl correspondiente a la figura.
10.-Dadas las proyecciones de la figura, dibujar: a.- Una perspectiva ISOMÉTRICA, sin aplicar coeficiente de reducción. b.- Una vista proporcionada del volumen a mano alzada que represente una perspectiva que puede estar dibujada desde la posición que se desee, siendo igualmente válida si se utiliza el mismo punto de vista que la perspectiva isométrica anteriormente dibujada. c.- Todas las medidas están expresadas en MILÍMETROS.
11.-EXERCICI: Interpreteu el sòlid representat en planta i alçat, i, situant el punt p-p' en la posició P del paper, dibuixeu l'axonometria amb la terna proposada (ortogonal isomètrica) a escala doble (mesurant en les direccions dels eixos axonomètrics). Con - creteu el sòlid únicament amb les línies vistes.
12.-EJERCICIO: Interprete el sólido representado en planta y alzado, y, situando el punto p-p' en la posición P del papel, dibuje la axonometría con la terna propuesta (ortogonal isométrica) a escala doble (midiendo en las direcciones de los ejes axonométricos). Concrete el sólido únicamente con las líneas vistas.
13.-EJERCICIO: Interprete el sólido poliédrico representado en planta, alzado y perfil, y, situando el punto p-p' en la posición P del papel, dibuje la axonometría con la terna propuesta (militar sin reducción) a escala doble (midiendo en las direcciones de los ejes axonométricos). Concrete el sólido únicamente con las líneas vistas.
14.-EJERCICIO: Interprete el sólido poliédrico representado en planta, alzado y perfil, y, situando el punto p-p' en la posición P del papel, dibuje la axonometría con la terna propuesta (militar sin reducción) a escala doble (midiendo en las direcciones de los ejes axonométricos). Concrete el sólido únicamente con las líneas vistas
15.- Represente la perspectiva isométrica de la siguiente pieza a escala 1:1 y sin coeficientes de reducción.- Representeu la perspectiva isomètrica de la següent peça a escala 1:1 i sense coeficients de reducció.
16.-Ajustándose a los ejes del Sistema que se facilitan representar, a escala 1/1, el Dibujo Isométrico (sin coeficiente de recucción) de la pieza dada por sus proyecciónes. Tomar las medidas de las vistas. Dibujar líneas ocultas. Colocar la Perspectiva según la orientación de los ejes que se indica.
17.- Ajustándose a los ejes del Sistema que se facilitan representar, a escala 2/1, el Dibujo Isométrico (coeficiente reducción =1) de la pieza dada por sus proyecciones. Tomar las medidas de las vistas. No representar las líneas ocultas. Colocar la Perspectiva según la orientación de los ejes y del punto origen (O) que se indica.
18.-Representar la pieza adjunta en perspectiva caballera de Cz = 3/4.
19.-Representar "el dibujo isométrico" de la pieza dada en sistema diédrico.
20.-Representar en perspectiva isométrica la pieza dada a escala E1:1, situando su eje logitudinal paralelo al OY.
21.-Representar como dibujo isométrico la pieza dada en sistema diédrico.
22.-Representar en dibujo isométrico la figura dada por sus vistas en sistema europeo.
23.-Representar el perfil seccionado "al cuarto" de la pieza dada por su alzado y planta en sistema europeo a E 1:1. Acotar en dicho perfil, conforme a la normativa UNE, todas las cotas necesarias para la correcta definición dimensional de la pieza.
24.-Representar, en la perspectiva caballera que se ofrece,la nueva posición del cubo de lado a, cuya base se apoya en el plano Oxy, cuando se le gira 135º alrededor de su arista a.
25.-Representar en dibujo isométrico la pieza adjunta, dada en diédrico.
26.-Representar en dibujo isométrico la pieza dada por sus vistas normalizadas.
27.-Completar la representación diédrica dada con la vista lateral derecha.
28.- Hallar la sección producida en la pieza prismática por el plano definido por los puntos A, B y C.
29.-Completar la representación de la figura con la tercera vista, a partir de las dos vistas proporcionadas: alzado y perfil izquierdo.
30.-Conociendo las vistas principales, trazar el dibujo isométrico de la pieza.
31.-Completar la representación diédrica dada con la vista lateral derecha.
32.-Determinar en perspectiva caballera la pieza dada por sus vistas normalizadas. Coeficiente de reducción 3/4.
Sistema Diédrico
Abatimientos. Giros.
Giro de un punto. Abatir un punto perteneciente a un plano sobre uno de los planos de proyección.
Giro de una recta. Abatir una recta sobre uno de los planos de proyección.
Abatir dos rectas coplanarias para representar la verdadera magnitud de los ángulos que forman en su intersección.
Giro de un plano. Abatir un plano sobre uno de los planos de proyección.
Abatir un plano para hallar la verdadera magnitud de la forma geométrica contenida en el.
Dada la proyeccion horizontal del cuadrilatero ABCD situado en el plano alfa paralelo a la linea de tierra se pide: Su proyeccion vertical. Su verdadera magnitud y forma.
Dada la recta r y el plano Alpha, girar el plano alpha alrededor de un eje vertical hasta que dicho plano contenga a la recta r.
Dada la recta r y el plano Alpha, girar la recta alrededor de un eje vertical hasta que dicho plano contenga a la recta r.
Puntos. Ángulos
1.-Ángulo que forma una recta con PV.
2.-Ángulo que forma una recta con PH.
3.-Ángulo que forma una recta con un plano genérico.
4.-Ángulo que forman dos planos.
5.-Ángulo que forma una recta con la línea de tierra.
6.-Dibujar las trazas de un plano conociendo el ángulo que forma con el plano horizontal de proyección y la amplitud de sus trazas.
7.- Halla el punto de intersección de la recta r con el plano.
8.-Determinar el punto de imtersección del plano ABCD con la recta r definida por los puntos P y Q. Hallar la visibilidad.
9.-Dadas las rectas r y s, que se cortan en el punto P, hallar la verdadera magnitud del ángulo que forman entre ellas.
10.-Dada la recta r (AB) y los puntos P y Q, determinar un punto X de la recta r que equidiste de los puntos P y Q.
11.-Se desea empalmar dos tuberías de ejes a y b con otra de eje c de modo que forme 120º con el eje a y 135º con el eje b. Determinar el eje c y los puntos A y B intersección de dichos ejes.
Rectas. Segmentos. Distancias
1.- Determine las dos proyecciones de la mínima distancia entre el punto m-m' y el plano del triángulo y la verdadera magnitud del segmento resultante.
2.-Dadas las trazas de los planos a y ß, determine las proyecciones de un segmento que represente la mínima distancia entre los dos planos. Halle la verdadera magnitud del segmento distancia.
3.-Determinar la recta que corta a r (A,B) formando 90º y pasa por P. Datos P(45,15,30); A(45,55,80) y B(80,0,10).
4.-Trazar por el punto P: la línea de máxima pendiente, la línea de , la horizontal y la frontal del plano alfa definido por P y r. Datos: A(65,40,0); B(90,20,50) y P(35,25,25).
5.-Hallar las proyecciones diédricas de la recta s que siendo perpendicular a r, pasa por el punto P (70,30,50) y corta a la recta r (AB). Datos: A(50,25,50) y B(80,10,25.
6.-Hallar las proyecciones diédricas de la recta s que sea paralela a la recta r (AB) y que pase por el punto P(60,45,25). Definirla. Datos: A(30,55,40) y B(30,10,10).
7.-Determinar la distancia en proyecciones y la verdadera magnitud, del punto P, al plano ABC.
8.-Determinar, en proyecciones y verdadera magnitud, la distancia del punto A(A’-A’’) a la recta oblicua r(r’-r’’).
9.-Determinar la distancia del punto P a la recta frontal r.
10.-Determinar la bisectriz de las rectas r y s. Justificar la construcción.
11.-Determinar la proyección vertical de la recta r que forme 45º con el plano horizontal y es tangente a la esfera representada.
12.-Dada la traza horizontal, vertical y la vertical abatida, pertenecientes a un mismo plano alfa, representar la línea de tierra.
13.-Representar las proyecciones de la recta que pase por el punto P y corte a las rectas r y s dadas.
14.-Distancia entre un punto y un plano.
15.-Distancia entre un punto y una recta.
16.-Distancia entre dos rectas paralelas.
17.-Distancia entre dos rectas que se cruzan (perpendicular común).
18.-Distancia entre dos planos paralelos.
19.-Dibujar una recta que pase por el punto P dado y sea paralela a los dos planos dados.
Intersecciones
Intersección entre dos planos.
Intersección entre dos planos cuando dos trazas se cortan fuera de los límites del papel.
Intersección entre dos planos cuando sus trazas se cortan en la Línea de Tierra.
Intersección de tres planos.
Intersección del plano que forman las rectas r y s y con el plano a cuyas trazas se confunden con la línea de tierra.
Intersección de una recta con un plano.
Intersección entre una recta y un prisma.
Intersección entre una recta y una pirámide.
Intersección entre una recta y un cilindro.
Intersección entre una recta y un cono.
Intersección entre una recta y una esfera.
Dado punto P y las rectas r y s, hallar una recta que corte a las dadas r y s y que pase por el punto P.
Diédrico directo: Intersección de una recta con un plano.
Diédrico directo: Intersección de una recta de perfil con un plano.
Hallar la intersección de los dos planos sabiendo que el punto A pertenece al plano alfa.
Dadas tres rectas r, s y t, que se cruzan en el espacio, trazar un plano por r y otro por s, de modo que se corten según una recta paralela a t.
Perpendicularidad
Recta perpendicular a otra. Posición particular
Recta perpendicular a otra.Posición genérica.
Perpendicularidad entre recta y plano. Recta perpendicular a un plano.
Rectas que se cruzan. Pperpendicular común.
Método directo: Rectas que se cruzan, perpendicular común.
Perpendicularidad entre planos. Plano perpendicular a otro.
Pertenencias: Planos
1.-Trazar un plano con la condición que contenga el punto A y sea perpendicular a la recta r . Dibuja una recta de máxima pendiente que contenga el punto A.
2.-Dadas las rectas r y s y su proyección diédrica hallar el plano P que contenga la recta r y sea paralelo a s.
3.- Dibuja un plano paralelo al dado que contenga el punto A.
4.-Tenemos una recta r paralela al plano horizontal y por ella queremos que pase un plano alfa que sea paralelo a otra recta s dada.
5.-Dados los planos P y Q por sus trazas, hallar su intersección. Hallar la intersección del plano P con la recta de perfíl R, definida por su traza vertical (V) y el punto A
6.-La recta r dada por los puntos A y B es una recta de máxima inclinación del plano a. Se pide: - Representar dicho plano a. - Hallar la mínima distancia entre el punto P y el plano a.
7.-Determine las trazas del plano a definido por la recta r y el punto P exterior a ella. Determineu les traces del pla a definit per la recta r i el punt P exterior a aquesta.
8.-Trazar por el punto P(P’-P’’) el plano, determinado por sus trazas, comúnmente paralelo a las rectas a y b.
Triángulo. Triángulo isósceles. Cuadrado. Rectàngulo. Pentágono. Hexágono. Circunferencia.
1.-Dado el plano P por sus trazas, determinar las proyecciones de la circunferencia contenida en dicho plano sabiendo que tiene 30mm de radio, es tangente a los planos de proyección y está situada en el primer diedro. PAU Comunidad Autónoma de Andalucía 2007.
2.-Conocidas las proyecciones de los puntos A y B, vértices de un triángulo ABC situado en el primer diedro y cuyo vértice C está contenido en el plano vertical de proyección, se pide: 1. Determinar el triángulo abatido sobre el plano horizontal de proyección. 2.- Dibujar las trazas del plano que lo contiene. 3.- Representar las proyecciones del triángulo ABC.
3.-Dibujar un triángulo equilátero A,B,C, conociendo las proyecciones del lado A-B y que el vértice C pertenece al plano horizontal de proyección.
4.-Determinar las proyecciones de un triángulo equilátero del que conocemos la recta de apoyo de un lado y sobre ella el punto X, punto medio de dicho lado y sabemos que un vértice tiene cota 0.(Validas todas las soluciones).
5.-Dos tarjetas ABCD y EFGH se han insertado mediante un corte dado a una de ellas, quedando colocadas como muestra la figura. Complétese la representación atendiendo a la visibilidad de cada arista
6.-Dados el plano proyectante P y la proyección horizontal del punto O situado en el primer diedro, se pide: 1.- Hallar la proyección horizontal del punto O, sabiendo que es el centro de una circunferencia contenida en el plano P y tangente a las trazas de dicho plano. 2.- Dibujar las proyecciones de la citada circunferencia.
7.-Dado el triángulo ABC, se pide: 1.- Hallar las trazas del plano P que contiene al triángulo. 2.- Dibujar el eje de giro E perpendicular al plano horizontal de pryección que contiene al vértice A. 3.- Girar el lado AB del triángulo al rededor del eje de giro E hasta situarlo, en el primer diedro, perpendicular al plano vertical de proyección. 4.- Obtener las nuevas proyecciones del triángulo ABC girado.
8.-Dada la traza horizontal del plano P y la proyección horizontal AB del lado desigual de un triángulo isósceles ABC de altura 90 mm, se pide: 1- Determinar la traza vertical del plano P, sabiendo que contiene al triángulo ABC y que el vértice C se encuentra en el plano vertical de proyección. 2.- Representar las proyecciones del triángulo ABC.
9.-Obtener en verdadera magnitud el triángulo formado por los puntos A[10,55,10], B[6,64,22] y C[15,69,17] mediante cambios de planos de proyección. No está permitido utilizar las trazas del plano formado por los puntos dados. PAU aragón junio 2009, universidad de Zaragoza.
10.-Dibujar un pentágono regular, contenido en el plano P, con centro en O y un lado en el plano H.
11.-Expresar las proyecciones de un cuadrado de lado 4cm, conociendo que la recta R contiene una diagonal, y la proyección vertical de la recta S la otra diagonal.
12.-Projecció horitzontal abcde d'un pentàgon i projecció vertical a' del seu vèrtex més baix. El segment f b és la projecció d'una recta horitzontal del pla del polígon. Aquest pla forma 45o amb el pla horitzontal. Determineu la projecció vertical del pentàgon i la magnitud vertadera del dit pentàgon. CASTELLANO: Proyección horizontal abcde de un pentágono y proyección vertical a' de su vértice más bajo. El segmento fb es la proyección de una recta horizontal del plano del polígono. Este plano forma 45º con el plano horizontal.
13.-a) Determineu les dues projeccions de la intersecció dels triangles. Diferencieu les arestes vistes de les ocultes, considerant els dos triangles opacs. [2 punts] b) Determineu les dues projeccions de la distància mínima entre el punt d-d' i el triangle abc-a'b'c' i la magnitud vertadera del segment determinat. CASTELLANO: a) Determine las dos proyecciones de la intersección de los triángulos. Diferencie las aristas vistas de las ocultas, considerando los dos triángulos opacos. [2 puntos] b) Determine las dos proyecciones de la distancia mínima entre el punto d-d' y el triángulo abc-a'b'c' y la magnitud verdadera del segmento determinado.
14.-Dada la representación diédrica del rectángulo ABCD, dibuje las proyecciones de un triángulo equilátero EFG contenido en el rectángulo ABCD. Para ello se sabe que el centro de ambos polígonos es el mismo y la proyección horizontal del vértice E del triángulo es e1.
15.-Se conocen la traza horizontal alfa1 de un plano y las proyeciones horizontales A' B' y C' de tres vértices de un rectángulo situado en dicho plano alfa. Se pide representar la verdadera magnitud del rectángulo, sus proyecciones horizontal y vertical y la traza vertical del plano que lo contiene. PAU 2007 Castilla y León (junio).
16.-El punto O pertenece a un plano que se ha abatido sobre el horizontal de proyección. Se pide determinar la charnela y hallar los ejes en alzado y planta de las elipses proyección de la circunferencia de centro O, contenida en dicho plano y de radio 25mm. PAU 2007 Castilla y León (junio).
17.-Dadas las proyecciones del rectangulo A,B,C y D, situar las proyecciones de un hexágono regular centrado en el rectángulo ABCD situado en el mismo plano y con un lado contenido en el segmento CD.
18.-El punto O es el centro de un cuadrado ABCD contenido en el plano que contiene los puntos M y N. La diagonal BD se proyecta horizontalmente sobre la recta ON. Representar las proyecciones del cuadrado.
Cono. Cilindro.
1.-Conocidas las trazas del plano P y la proyección horizontal del segmento AB contenido en dicho plano, se pide: 1º) Determinar la proyección vertical del segmento AB. 2º) Dibujar las proyecciones de la circunferencia de diámetro AB contenida en el plano P. 3º) Representar las proyecciones del cono de revolución cuya base es la circunferencia anterior, sabiendo que la altura es el doble del diámetro de la base y que está situado en el primer diedro.
2.-Determinar las proyecciones diédricas de un cono recto cuya base, apoyada en el plano a, tiene de centro el punto C (65,35,30) y diámetro 70 mm. Altura del cono 80 mm. Determinar partes vistas y ocultas.
3.-Determinar, por sus ejes principales, la sección que el plano proyectante alfa produce en el cono de revolución representado.
4.-El plano que contiene la recta r y los puntos A y B secciona al cilindro dado, siendo A y B puntos de la cónica intersección. Determinar la sección por sus ejes principales.
5.-Determinar los puntos de intersección de la recta r con el cilindro.
6.-Representa un cono recto de base 60mm y altura 80mm, apoyado en un plano genérico
Cubo. Hexaedro. Prisma recto.
1.-Dadas la traza vertical P' de un plano P, las proyecciones a-a' del punto A y la proyección horizontal del punto B contenidos ambos en el plano P, se pide: 1. Hallar la traza horizontal del plano P. 2. Determinar las proyecciones del rectángulo ABCD situado en el primer diedro y contenido en el plano P, sabiendo que el lado BC mide 20 mm. 3. Dibujar las proyecciones del prisma recto, situado en el primer diedro que tiene por base el rectángulo ABCD, siendo su altura igual a la longitud del lado AB. PAU Comunidad Autónoma de Andalucía 2007.
2.-Dadas las proyecciones horizontal y vertical de un sólido, así como las trazas de un plano P, se pide: 1.- Determinar la proyecciones de la sección producida por el plano P en el sólido. 2.- Determinar la verdadera magnitud de la sección. PAU Comunidad Autónoma de Andalucía 2008.
3.-Los puntos A[37, 56, 10] y B[14, 76, 28] son los extremos de un lado de la base de un hexaedro apoyado en un plano cuya recta de máxima inclinación es la formada por dichos puntos A y B. Obtener las proyecciones diédricas del hexaedro, sabiendo que está situado en el primer diedro.
4.-En el plano a dado está situada la cara ABCD de un cubo. El vértice A está en el P.H. y B está en el P.V. La arista AB forma un ángulo de 45º con las trazas del plano y, la arista del cubo mide 50 mm. Dibujar las proyecciones del cubo situado en el primer cuadrante.
5.-DADES: Projeccions del triangle abc-a'b'c' i projecció horitzontal de la base defghk d’un prisma recte, situada en el pla horitzontal H'. EXERCICI: Determineu la longitud vertadera del segment ac-a'c' i la projecció vertical de la porció de prisma compresa entre la base i el triangle, considerat transparent, i diferencieu-ne les arestes vistes de les ocultes. CASTELLANO. DATOS: Proyecciones del triángulo abc-a'b'c' y proyección horizontal de la base defghk de un prisma recto, situada en el plano horizontal H'. EJERCICIO: Determine la longitud verdadera del segmento ac-a'c' y la proyección vertical de la porción de prisma comprendida entre la base y el triángulo, considerado transparente, y diferencie las aristas vistas de las ocultas.
6.-a) Determine gráficamente la longitud de la diagonal del cubo. b) Dibuje las dos proyecciones del cubo y diferencie las aristas vistas de las ocultas.
7.-Determinar las proyecciones de un cubo con la diagonal AG vertical, sabiendo que la arista AB es de perfil, y el vértice B tiene el menor alejamiento posible.
8.-Calcular la verdadera magnitud del ángulo que forma la diagonal AG de un cubo con la cara ABCD.
9.-Representar un cubo conociendo su arista a y las proyecciones horizontales de las direcciones de tres aristas concurrentes.
10.-Dibuja las proyecciones de un prisma recto de base un triangulo equilatero del que se conocen las proyecciones verticales de dos de sus vértices A y B, y la proyeccion horizontal de A. El punto D es el vértice de la base superior de la arista A-D. Las aristas forma 30º con el PV.
En el plano a se encuentra apoyada la base de un hexaedro o cubo de arista a. Sabiendo que la arista AD se encuentra en el plano vertical de proyección, el vértice D a la derecha de A y que el vértice B de la arista AB, esta situado en el plano horizontal de proyección. Dibujar las proyecciones del cubo teniendo en cuenta que esta situado todo en el primer diédro.
Esfera.
1.-Definida una esfera por su centro O y radio 30mm, se pide: 1. Dibujar las proyecciones de la esfera 2. Determinar las proyecciones de la sección producida por el plano P en la efera. 3. Representar las proyeciones del cono de revolución, de 60mm de altura, cuya base es la sección antreriormente determinada. El vértice del cono debe pertenecer al primer diedro.
2.-De un plano P proyectante se conoce su traza vertical. Se pide: 1.-Determinar su traza horizontal. 2.-Determinar las proyecciones de las esferas de radio 4 cm, situadas en el primer diedro, que sean tangentes al plano P y a los de proyección. Obtener gráficamente los centros de las esferas y los puntos de tangencia con los tres planos.
3.-Dados el plano P y la proyección horizontal del segmento AB contenido en P, se pide: 1. Determinar la proyección vertical del segmento AB. 2. Dibujar las proyecciones de la circunferencia de diámetro AB contenida en el plano P, definiéndola por sus ejes o por una pareja de diámetros conjugados. 3.Determinar las proyecciones de la esfera cuya sección con el plano P es la circunferencia anterior y su centro se encuentra en dicho plano. 4. Representar las proyecciones de los puntos C y D, extremos del diámetro de la esfera perpendicular al plano P.
4.-Determinar la intersección de la recta r y la semiesfera e, de centro O.
5.-Dadas las proyecciones de la recta horizontal R y las de los puntos A y B, se pide: 1 Dibujar las trazas del plano P, proyectante horizontal, que contenga los puntos A y B. 2. Determinar las proyecciones de la esfera de 60 mm de diámetro, que sea tangente al plano P y a los planos de proyección estando situada en el primer cuadrante. De las dos soluciones posibles elegir la de la izquierda. 3. Indicar las proyecciones del centro de la esfera y de los puntos de tangencia de los planos horizontal de proyección, vertical de proyección y P. 4. Hallar los puntos de interrsección dfe la recta R con la esfera, representando las partes vistas y ocultas de dicha esfera.
6.-Dibujar las proyecciones de una esfera de centro el punto C y que sea tangente al plano dado alfa.
7.-Determinar la proyección vertical de la recta r que forme 45º con el plano horizontal y es tangente a la esfera representada.
Pirámide regular. Tetraedro. representación, secciones.
1.-Dadas las proyecciones de la recta r y del segmento VA, arista lateral de una pirámide regular, cuya base es un hexágono regular situado en el plano horizontal de proyección, se pide: 1.-Dibujar las proyeciones de la base de la pirámide. 2.- Dibujar las proyecciones de la piránide. 3.-Determinar las proyecciones de los puntos de intersección de la recta R con la pirámide.
2.-Dadas las proyecciones de las rectas R y S, se pide: 1. Hallar las trazas del plano P que contiene a las rectas R y S. 2. Dibujar las proyecciones del hexágono regular que tiene dos de sus lados opuestos sobre las rectas R y S y uno de sus vértices sobre el plano horizontal de proyección, estando situado dicho polígono en el primer diedro de proyección. 3. Determinar las proyecciones de la pirámide regular de base el hexágono obtenido, altura 70 mm, y situada en el primer diedro de proyección.
3.-Dados el plano P y la proyección horizontal del lado AB de un cuadrado situado en el plano horizontal de proyección, se pide: 1.- Representar las proyecciones del cuadrado situado en el primer diedro. 2.- Dibujar las proyecciones de la pirámide regular de base el cuadrado ABCD y altura 60 mm, situada en el primer diedro. 3.- Determinar las proyecciones de la sección producida por el plano P en la pirámide. 4.- Obtener la verdadera magnitud de la sección.
4.-Los puntos A[18, 59, 10] y B[7, 80, 29] son los extremos de un lado de la base de un tetraedro apoyado en un plano cuya recta de máxima pendiente es la formada por dichos puntos A y B. Obtener las proyecciones diédricas del tetraedro, sabiendo que está situado en el primer diedro.
5.-Los puntos A[21, 68, 12] y B[8, 93, 34] son los extremos de un lado de la base de un tetraedro apoyado en un plano cuya recta de máxima pendiente es la formada por dichos puntos A y B. Obtener las proyecciones diédricas del tetraedro, sabiendo que está situado en el primer diedro.
6.-Los planos perpendiculares al segundo bisector son aquellos cuyas rectas trazas vertical y horizontal coinciden y se confunden en una sola. El plano P (de trazas Pv y Ph) pasa por los puntos C[0,88,0] y D[0,80,7] y es perpendicular al segundo bisector. Los puntos A[35,22,0] y B[19,47, 0] son los extremos del lado de un cuadrado que es la base de una pirámide recta de altura 54 apoyada en el plano horizontal. Obtener la sección plana producida en dicha pirámide por un plano paralelo al plano P que pase por el punto medio de la altura de la pirámide.
7.-Halla la sección producida por el plano en la pirámide representada.
8.-a) Determineu la magnitud vertadera de la cara abv-a'b'v'. [1,5 punts] b) Determineu l’angle que formen les cares bcv-b'c'v' i cav-c'a'v'. [2 punts]. CASTELLANO: a) Determine la magnitud verdadera de la cara abv-a'b'v'. [1,5 puntos] b) Determine el ángulo que forman las caras bcv-b'c'v' y cav-c'a'v'. [2 puntos)
9.-DADES: Projeccions horitzontals a, b, c, d, e, f dels vèrtexs de l’octaedre, el vèrtex més baix del qual és el punt a-a'. EXERCICI :a) Concreteu la projecció horitzontal del poliedre i diferencieu-ne les arestes vistes de les ocultes. b) Determineu la projecció vertical de l’octaedre i diferencieu-ne les arestes vistes de les ocultes. CASTELLANO:[a) Concrete la proyección horizontal del poliedro y diferencie las aristas vistas de las ocultas. b) Determine la proyección vertical del octaedro y diferencie las aristas vistas de las ocultas.
10.-Determine la intersección del plano a con la pirámide tanto en proyecciones como en verdadera magnitud. Determineu la intersecció del pla a amb la piràmide tant en projeccions com en vertadera magnitud.
11.-Dada una pirámide de base triangular obtenga las proyecciones de la sección producida por un plano definido por los puntos A, B y C contenidos en sus aristas. Donada una piràmide de base triangular calculeu les projeccions de la secció produïda per un pla definit pels punts A, B i C continguts en les seues arestes.
12.-Dibuje el desarrollo (verdadera magnitud) de todas las caras laterales del tronco de pirámide representado. 3.- Dibuixeu el desenvolupament (vertadera magnitud) de totes les cares laterals del tronc de piràmide representat.
13.- Construya un tetraedro dada la proyección horizontal de su base (ABC) y sabiendo que está apoyado en el plano horizontal. Obtenga la sección que le produce el plano alfa en proyecciones y en verdadera magnitud. 3.- Construïu un tetraedre donada la projecció horitzontal de la seua base (ABC) i sabent que està recolzat en el pla horitzontal. Calculeu la secció que hi produeix el pla alfa en projeccions i en vertadera magnitud.
14.-Determinar la sección que produce el plano a (X,Y,Z)sobre la pirámide recta de base un pentágono regular y altura 60 mm. Hallar la verdadera magnitud. Determinar partes vistas y ocultas. Dato: A (90,15,0). Lado = 40 mm.
15.-Obtener las proyecciones diédricas de un tetraedro regular del que se conoce una arista AB. La cara ABC está contenida en el plano que forma AB y P. Determinar las aristas vistas y ocultas. Datos: A (60,10,45), B(90,30,10) y P(120,20,65). Representar una sola solución. PAU 2008 Castilla La Mancha (junio).
16.-Hallar las proyecciones diédricas de la sección plana que produce el plano alfa sobre la pirámide recta de base un hexágono regular de lado 20 mm y altura 50 mm. Obtener su verdadera magnitud. Datos: A(70,40,0) y P(30,0,0). La traza horizontal del plano forma 45º con LT, y la vertical 30º.PAU 2007 Castilla La Mancha (septiembre).
17.-Construir las proyecciones de la pirámide regular VABC de la que se conoce el desarrollo V1AoBoCo y cuya cara lateral VAB está situada en el plano horizontal.
18.-Obtener las proyeciones del tetraedro, con una cara vertical, dadas las proyecciones diédricas de una arista de la misma (considerar sólo una de las soluciones).
19.-Dibújense las vistas diédricas de una pirámide de base cuadrada que tiene por vértice V y por eje SV, sabiendo que uno de los vértices de la base es el punto O.
20.-El triángulo isósceles A,V,B, es una de las caras de una pirámide pentágonal regular. Representar las proyecciones de dicha pirámide.
21.-Representar en el sistema diédrico un tetraedro apoyado sobre un vértice cuya arista es perpendicular al plano horizontal, conocida la magnitud de su arista a y la posición del vértice V.
Poliedros: Representaciones.
Tetraedro.Reprersentación conociendo su arista. Breve análisis de la forma.
Cubo. Breve análisis de la forma.
Cubo. Representación conociendo arista y diagonal perpendiculr PH.
Cubo. Representación con un vértice en PH y proyección de tres aristas.
Octaedro. Breve análisis de la forma.
Octaedro. Representación con una cara apoyada en PH.
Octaedro. Representación con un vértice en PH
Dodecaedro. Breve análisis de la forma.
Dodecaedro. Representación con una cara apoyada en PH.
Icosaedro. Breve análisis de la forma.
Icosaedro. Representación con un vértice en PH.
Secciones Planas (teoría).
Sección producida por un plano no paralelo al horizontal que corta todas las generatrices de un cono. Elipse.
Sección producida por un plano que corta todas las generatrices de un cono menos dos. Hipérbola.
Sección producida por un plano que corta todads las genetratrices de un cono menos una. Parábola.
Sección producida por un plano genérico a un cono oblicuo.
Intersección de un plano genérico con una esfera. La sección que produce es un círculo.
Sección producida por un plano no paralelo al horizontal que corta todas las generatrices de un prisma.

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